gaussianos

Lva2, nueva revista de divulgación matemática del grupo "Retos Matemáticos" [5]

1. #5 gaussianos

   #4 Sí, llevo aquí prácticamente desde que empezó Menéame (acabo de mirar y me registré en enero de 2006 )..
   
   Muchas gracias, a ver qué tal se da este nuevo proyecto .

   0 K 8

1. #3 gaussianos

   #2 Han meneado el post de mi blog en el que hablo del lanzamiento de la revista y en el que también cuento un poco de dónde proviene (del grupo "Retos Matemáticos" de Telegram) y alguna cosa más.
   El proyecto de la revista en sí tiene su propia página web:
   www.lva2.es
   Accediendo a ella, se pueden descargar tanto los artículos (individualmente) o la sección de problemas de este número como la revista completa. También aparece el correo al cual se deberían enviar las propuestas de solución a dichos problemas.
   Si tenéis alguna otra duda, podéis contestar a ese comentario (o mencionarme en uno) y os la respondo
   cc #1

   4 K 39

La función f(x)=1/x y una discusión continua [200]

1. #200 gaussianos

   Lo he intentado, pero veo que no lo he conseguido.
   
   Gracias por la conversación. Un saludo.

   0 K 9

1. #198 gaussianos

   #197 Simplemente viendo esta respuesta a una expresión mía
   
   "Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."
   
   Tu frase no dice eso!!
   
   estoy convencido de que no vas a entender (o "querer entender", ya no sé qué pensar) lo que quiero decir.
   
   Aunque hace ya unos cuantos comentarios que empecé a pensar que igual estaba perdiendo el tiempo, he intentado en unas cuantas ocasiones que comprendas lo que quería decir, pero sigues empeñado en decir que "mi frase" lleva a pensar que f puede ser continua. Y no, eso es falso, ya que lo contrario de "no continua" no es "continua", sino que es "continua o nada" (porque hay 3 posibilidades, no dos, como parece que te sigues empeñando en afirmar). Pero bueno, después de la de veces que he intentado que lo veas no sé ni para qué intento aclarártelo otra vez.
   
   Si nuestra conversación va a seguir dando vueltas como hasta ahora, por mí se ha terminado. Sea como sea, ha tenido su interés.
   
   Un saludo.

   0 K 9

1. #196 gaussianos

   #195 Que mi frase esté abriendo la posibilidad de que sí sea continua lo dices tú, no yo. Esa interpretación que haces sobre el significado de mi frase es errónea, pero parece que tienes que añadirla para tener la razón (porque es evidente que yo no quiero decir eso, ni mi frase lo insinúa siquiera).
   
   Lo voy a intentar de nuevo. Mi frase va por la siguiente "creencia":
   
   "Si f tiene una discontinuidad en un punto 'a', entonces f no es continua en dicho punto."
   
   Y eso es correcto solamente cuando existe f(a). Si f tiene una discontinuidad en 'a' pero no existe f(a), se tiene que f no es ni continua ni no continua en 'a'. Como ves, en ningún momento se deja abierta la posibilidad de que f pueda ser continua en 'a' (de nuevo, creo que esto era evidente, pero parece que hace falta aclararlo). Por eso digo que la frase en negrita no es necesariamente cierta (sólo lo es en algunos casos).
   
   Si en mi frase
   
   "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto"
   
   cambias 'significa' por 'implica', puede que lo comprendas mejor y te des cuenta de que mi frase es correcta y sí expresa lo que quiero expresar.

   0 K 9

1. #194 gaussianos

   #193 No, no estoy diciendo eso. "Eso" es lo que tú has entendido, pero mi frase no dice eso.
   
   Concretamente, dice lo siguiente:
   
   "Una función puede tener una discontinuidad en un punto, y eso no tiene por qué significar que no sea continua".
   
   Vamos, que la existencia de discontinuidad en un punto no implica necesariamente que la función no sea continua en ese punto...porque podría ser que en dicho punto no fuera nada. Ejemplo: f(x)=1/x. Tiene una discontinuidad en x=0, pero en ese punto no es ni continua ni no continua, simplemente "no es".
   
   Tú vuelves a interpretar mi frase con "tu" visión de la continuidad, no con la mía.
   
   Espero que ahora sí hayas entendido lo que quiero decir. Si no es así, de verdad que lo siento, pero no sé cómo explicártelo mejor.
   
   Un saludo.

   0 K 9

1. #192 gaussianos

   #191 No me molesta que critiques el ejemplo, es lícito que lo hagas. Simplemente he intentado explicar varias veces por qué lo puse, y fue por la gente que piensa lo que te comenté antes (el tema de que el límite por la derecha de 0 diverja negativamente). Tú no lo ves así (de hecho, es lo que me parece correcto), pero otra gente sí tiene ese error, como ya he comentado antes. Lo que parece es que crees que ese ejemplo va dirigido a la gente que tiene claro ese tema, y evidentemente no es así.
   
   Y volvemos a "la frase". Estás leyéndola con "tu "idea sobre función continua, discontinuidad, etc, y yo la escribí con "mi" idea sobre funcion continua, discontinudad, etc. Así que sí, la frase es exactamente como la redacté por primera vez, y tiene todo el sentido (aunque tú, por mucho que he intentado explicarlo, no se lo encuentres).
   
   Creo que la conversación ha llegado a un punto muerto. Ha sido interesante para mí conversar sobre este tema.
   
   Un saludo.

   0 K 9

1. #190 gaussianos

   #189 Nunca he visto ni usado una definición de "función discontinua en un punto". Solamente he visto y usado "función continua en un punto" y "función no continua en un punto" para los puntos en los que tiene sentido plantearse la continuidad. Por tanto, no existe tal definición "mía" de función discontinua.
   
   Otra cosa, repito, es "discontinuidad de una función en un punto", que, vuelvo a repetir, no veo igual que "no continuidad en un punto". Y no lo veo igual porque, precisamente para las de salto infinito, una función puede tener una discontinuidad de ese tipo pero no ser ni continua ni no continua en él porque, al no pertenecer al dominio, no tiene sentido plantearse la continuidad.
   
   Ésa es la explicación, por segunda vez, de la frase "el hecho de que una función tenga una discontinuidad en un punto no significa, necesariamente, que no sea continua en dicho punto". En esos puntos, la función no es ni continua ni no continua, pero sí presenta una discontinuidad de salto infinito. Por todo ello, veo que la inclusión del tratamiento de los puntos de acumulación en la búsqueda de discontinuidades es esencial.
   
   Sobre el tema de f(x)=ln(x), creo que lo he dejado clarísimo en el comentario anterior. Te lo copio de nuevo:
   
   "Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene."
   
   Si tú no estás dentro de esa, el comentario no se aplica a ti, pero te aseguro que ese conjunto de personas es no vacío.
   
   Espero que ya sí haya quedado claro y que no le sigamos dando vueltas a lo mismo. Un saludo.

   0 K 9

1. #188 gaussianos

   #187 No sé si lo he dicho ya (he contestado a mucha gente estos días e igual me repito), pero comento cómo veo yo todos estos términos:
   
   - Función no continua en un punto: el punto pertenece al dominio, pero la función no es continua en él.
   - Función discontinua en un punto: no lo uso para no inducir al error (aunque en el caso de usarlo lo haría como sinónimo de "no continua").
   - Función que presenta una discontinuidad en un punto: aquí meto los casos en los que la función es no continua en el punto y el caso en el que es un punto de acumulación que no pertenece al dominio y tiene sentido plantearse el cálculo de ambos límites laterales. En este último caso, si alguno de los límites laterales diverge, se tiene que la función presenta una discontinuidad en ese punto.
   
   Repito que esto es lo que yo he sacado en claro como lo más adecuado, recomendable y/o descriptivo de todo lo que sé y de todo lo que he leído.
   
   Lo de meter f(x)=ln(x) en el asunto es por lo siguiente: hay gente que dice que si uno de los límites laterales diverge, entonces la función presenta una discontinuidad de salto infinito en él...sin tener en cuenta si tiene sentido plantearse el cálculo del otro límite lateral. Para esas personas, f(x)=ln(x) tendría una discontinuidad de salto infinito en x=0, y para mí no la tiene.
   
   Por otra parte, ya que has hablado de la bibliografía que tienes de cálculo me gustaría que comentaras qué libros son y qué es lo que dicen sobre este tema.

   0 K 8

1. #184 gaussianos

   #183 Es que igual la cosa es pensar que "discontinuidad" y "no continuidad" es lo mismo, y no. Yo no estoy hablando de "función no continua", sino de que "una función presente una discontinuidad". Por dar más detalles:
   
   - La continuidad de una función solamente tiene sentido en puntos del dominio.
   - ¿La presencia de posibles discontinuidades tiene sentido también en puntos de acumulación que no pertenezcan al dominio?
   
   ¿Tiene que ver algo eso de "a la izquierda" y "en el medio" que comentas? Más claro:
   
   Si te pido que estudies la continuidad y posibles discontinuidades de f(x)=1/x, dirías que es continua y que no presenta discontinuidades en ningún punto, ¿no?

   0 K 8

1. #182 gaussianos

   Buenas a todos.
   
   Aunque @zurditorium y algunas personas más han explicado bastante bien el asunto a quienes han mostrados sus dudas y preguntas en los comentarios, voy a intentar explicar lo que yo creo que son los puntos que generan problemas a la hora de entender este tema.
   
   Los dos puntos más importantes, de los cuales hablo en mi artículo y que además están íntimamente relacionados, creo que son los siguientes:
   
   1. Pensamos que la definición de continuidad de una función en un intervalo real es que pueda dibujarse sin levantar el lápiz del papel.
   2. Pensamos que la palabra 'discontinuidad' es, automáticamente, 'no continuidad'.
   
   Sobre la 2, entiendo que puede llevar a error, y posiblemente sería mejor usar otro término para los casos en los que el punto a estudiar no está en el dominio (y, por tanto, el estudio de la continuidad no procede). Una buena palabra podría ser "singularidad".
   
   Sobre la 1, es evidente que el instituto tiene buena "culpa" de ello, aunque no creo que sea del todo desacertado. No es, ni mucho menos, el único caso en el que, en los comienzos del estudio de un concepto matemático, se usan "aproximaciones", "ideas intuitivas" o, directamente, pequeñas "mentiras" que se deben avisar en el momento y aclarar con el paso del tiempo.
   
   Por otra parte, también la utilización de las palabras en nuestro lenguaje natural pueden llevarnos a error. No podemos pretender que lo que "nosotros" entendemos como "continuo" en nuestro día a día sea exactamente lo que dice la definición matemática en ese caso (o lo que debería decir). Las definiciones matemáticas son las que son, no las que nosotros queremos que sean. En este caso, a nivel superior la cuestión es topológica, y @zurditorium lo ha comentado en #2.
   
   Por cierto, esto de que nuestro lenguaje habitual no coincide exactamente con el significado matemático pasa en más ocasiones, evidentemente (y esto seguro que también en otras áreas de conocimiento). Por poner un ejemplo simple: el "o" del lenguaje natural es una "disyunción exclusiva" (una de las opciones o la otra, pero no las dos), pero el "o" de las matemáticas es una "disyunción no exclusiva" (una de las opciones, la otra O LAS DOS). Y os aseguro que esto también provoca problemas de comprensión en algunas ocasiones (conjuntos, lógica, probabilidad...). Otro ejemplo que se me ocurre es el término "abierto". Y seguro que a vosotros se os ocurren muchos más, tanto en matemáticas como en otros campos.
   
   Espero haber contribuido a aclarar un poco más esta cuestión.

   0 K 8

1. #181 gaussianos

   #174 Creo que sí aporta: quería poner un ejemplo de otra función que no está definida en un punto, x=0, y de la cual no pensaríamos que no fuera continua. Viene asociado a una "pregunta" que me hago un poco antes.

   0 K 8

1. #180 gaussianos

   #171 Creo que está bien expresado, pero lo intento de otra forma: "la palabra 'discontinua' no siempre va asociado a 'no continua', aunque la propia palabra parezca indicar que sí". Por otra parte, después de esda frase intento explicar qué quiero decir con ella.

   0 K 8

Primos que generan primos: el teorema de Scherk [45]

1. #45 gaussianos

   #44 En eso tienes razón

   0 K 9

1. #43 gaussianos

   #40 Sólo te respondía a esto que dijiste en #38: "y el cuadrado de todo número primo tiene com o único divisor ese primo".
   
   Teniendo isthisprime.com, no me interesa esa tabla Excel

   0 K 9

1. #39 gaussianos

   #38 No es por desanimarte, pero estás perdiendo el tiempo:
   
   - Todo número primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 ó 6n-1 (para algún n entero positivo). Te lo demostré en #32.
   
   - Para todo primo p, se cumple que el único divisor propio (es decir, divisor que no sea el 1 o el mismo número) de p^2 es el propio p. Esto es evidente por el hecho de que p sea primo.
   
   Vamos, que testar si un primo es de uno de esos tipos es una pérdida de tiempo (seguro que lo és), y confirmar que el único divisor (propio) de p^2 es p también es perder el tiempo (porque es cierto para todo primo).

   0 K 8

1. #36 gaussianos

   #34 Claro, lo que dices de
   
   "pero no todos los multiplos de 6 más 1 o menos 1 son primos"
   
   se puede demostrar dando un ejemplo de un múltiplo de 6 más 1 y de un múltiplo de 6 menos 1 que no sean primos, y eso es lo que he hecho en el primer punto:
   
   "- No todo número de la forma 6n+1 ó 6n-1 es primo:
   
   Con dos contraejemplos vale, ¿no? Pues ahí van: ni 25 = 6 · 4 + 1 ni 35 = 6 · 6 - 1 son primos."

   0 K 8

1. #35 gaussianos

   #33 También es verdad, pero no quedaría igual que decir que "es igual a"...
   
   Quizás en la época en la que Scherk formuló su conjetura, el 1 sí se consideraba primo. Creo que sabía más o menos desde cuándo ya no se le considera primo, pero no lo recuerdo ahora.

   0 K 8

1. #32 gaussianos

   #30 Vamos con ella:
   
   - No todo número de la forma 6n+1 ó 6n-1 es primo:
   
   Con dos contraejemplos vale, ¿no? Pues ahí van: ni 25 = 6 · 4 + 1 ni 35 = 6 · 6 - 1 son primos.
   
   - Todo primo mayor que 3 es de la forma 6n+1 ó de la forma 6n-1:
   
   Basta descartar el resto de opciones. Si dividimos un número entero positivo p entre 6, obtenemos resto 0, 1, 2, 3, 4 ó 5. Vamos caso a caso:
   
   Resto 0: entonces p=6n, que es múltiplo de 6 (y, por tanto, no primo).
   Resto 1: entonces p=6n+1, que es un múltiplo de 6 más 1, y p podría ser primo.
   Resto 2: entonces p=6n+2=2(3n+1), que es múltiplo de 2 (y, por tanto, no primo).
   Resto 3: entonces p=6n+3=3(2n+1), que es múltiplo de 3 (y, por tanto, no primo).
   Resto 4: entonces p=6n+4=2(3n+2), que es múltiplo de 2 (y, por tanto, no primo).
   Resto 5: entonces p=6n+5=6n+6-1=6(n+1)-1, que es un múltiplo de 6 menos 1m y p podría ser primo.
   
   Si tienes alguna duda, pregunta

   0 K 8

1. #31 gaussianos

   #27 Evidentemente, en la actualidad no se considera al 1 como primo (aunque hasta hace no tanto tiempo sí). La cosa es, más bien, "metiendo al 1 en la lista junto con los números primos". A mí también me hace daño lo de "considerando que 1 es un número primo", pero hace falta para que el teorema sea cierto

   0 K 8

¿Cuál es la raíz cuadrada de 16? [220]

1. #220 gaussianos

   #219 Entendido ahora tu comentario, aunque no estoy totalmente de acuerdo con él. Cierto es que intento llegar a la mayor cantidad posible de personas, pero creo que no es menos cierto que he tocado temas que no creo que puedan denominarse "superficiales".
   
   Sea como sea, respeto tu opinión y me alegro de que me hayas aclarado tu mensaje anterior

   0 K 9

1. #218 gaussianos

   #215 Efectivamente, eran 8.
   
   Y sí, claro que no es la única convención en esa expresión. Y, si nos ponemos más quisquillosos, hay más: el 4, el 9 y el 16 tienen omitido su exponente, y por tanto se entiende que en los tres casos es 1.
   
   En matemáticas hay muchas, y por muchas razones: por comodidad (como éstas), porque es la adecuada (como a⁰=1), etc.

   0 K 8

1. #217 gaussianos

   #213 Aclarado el tema del tono de tu comentario anterior .
   
   Creo que ya lo he comentado por aquí (al menos en mi blog sí lo he hecho), pero lo vuelvo a decir: lo que quería decir en mi entrada es precisamente eso, que el símbolo √ representa a la raíz positiva por convenio, y aclarar así que ese símbolo no representa a las dos (también lo he comentado <a href="www.meneame.net/story/cual-raiz-cuadrada-16/c0211#c-211">aquí).
   
   Sobre el tema de la "aplicación práctica" de este tipo de expresiones, quizás tengas razón. Pero es que, en la enseñanza, con ese tipo de expresiones no se busca solamente aplicarlas a situaciones prácticas, sino más cosas: que se entienden determinados conceptos (como comentas), que se comprenden ciertas propiedades y que se saben usar en el momento adecuado y de la forma correcta, que se han relacionados esos conceptos con los que ya se habían adquirido...
   
   Además, como también he comentado ya, es un convenio adecuado, ya que ayuda a que se pueda definir una función con ese símbolo, cuandra con el hecho de que si no hay signo entonces se entiende que es el positivo (2 y +2 son lo mismo), etc.
   
   Creo que ahora sí que estamos hablando en los mismos términos, ¿no?

   0 K 8

1. #216 gaussianos

   #212 No cambies el nombre a las cosas para intentar que beneficien tu opinión (sin comillas). Lo de |x| no es ningún rodeo, es la definición de la operación √, sin más.
   
   Esperaba que la conversación iba a ir en otro tono, que no iba a ser un "mi opinión (sobre algo que no es opinable) es ésta y punto, de aquí no me muevo", pero veo que sí lo es. Tienes razón en que mejor nos ahorramos tiempo, que es muy valioso (al menos para mí el mío lo es).
   
   Un saludo.

   0 K 8

1. #211 gaussianos *

   #210 Cuando hablas de "operación" en matemáticas, las cosas ya no dependen de la semántica, sino de definiciones, propiedades, etc. Como veo que estás familiarizado con el tema, no entraré en detalles.
   
   Los arcos (ángulos) cuyo seno vale 0 son 0, Pi, 2Pi, -Pi, -2Pi, etc. Vamos, n*Pi (con n entero), como has comentado. Ahora, el que se llama "arcsen(0)" es solamente uno: 0. Con esta convención, se puede decir que "arcsen(x)" puede definir una función, y además sus valores nos ayudan a calcular el resto de ángulos cuyo seno es x.
   
   Pues con la raíces cuadradas pasa igual. Te lo repito aquí: Los números cuyo cuadrado es 16 son dos, 4 y -4, pero el que se denomina √16 es solamente 4 (raíz cuadrada principal de 16). En general, hay dos números cuyo cuadrado es x^2, que son x y -x, pero el que se denomina √x^2 es solamente el positivo (vamos, |x|). Además, con ese valor podemos calcular el otro número cuyo cuadrado da x^2, que es -|x|.
   
   Se toma así por convenio, porque es la mejor opción, porque es la que cuadra con la experiencia (la geometría, por ejemplo), y seguro que hay muchas más razones. ¿Se podría haber tomado la otra opción? Supongo que sí, pero redefiniendo muchas cosas para que tuvieran sentido. Salvando las distancias, es algo como el caso de a⁰=1, que es una convención adecuada.
   
   No tienes por qué fiarte de mí, evidentemente. Hay muchos matemáticos por internet (y fuera de él) a los que consultarles, te invito a que lo hagas. Aquí en Menéame estaba la admirada @fantomax ( ), que seguro te habría informado de esto convenientemente. Ella no está, pero hay más referentes matemáticos por aquí a los que consultar. Te doy uno que me parece de los más fiables y competentes: @zurditorium.
   
   Un saludo.

   0 K 8